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Herleitung der  BAX Formeln

 

Gewinnwahrscheinlichkeit / Gewinnerwartung

Mit Hilfe der Standardnormalverteilung

(1)  

lassen sich in sehr guter Näherung Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung bestimmen. Eine Binomialverteilung liegt dann vor, wenn numerisch messbare Merkmale wie z.B. Schuhgröße, Intelligenzquotient, Benotung oder BAX gleichmäßig in Anlehnung einer Glockenkurve verteilt vorliegen.

Excel-Anwender kennen die Funktion Standardnormalverteilung als STANDNORMVERT().

Setzt man in die Formel  (1)  x= D/√2·σ  mit D als Differenz zweier BAX-Werte (D=BA-BB) und σ als frei zu wählende Standardabweichung σ=25 ein, so kann

(2)     Formel2 

als Gewinnwahrscheinlichkeit oder Gewinnerwartung von SpielerA gegenüber SpielerB gedeutet werden.

Der Schachverband setzt σ=200 und verwendet damit eine 8fache Skalierung für seine ELO-Zahlen, benannt nach dem Urheber Professor Arpad Elo.

Da die wenigsten Programmiersprachen eine Funktion zur Standardabweichung verfügbar haben, reglementiert der Schachverband die Umrechnung von D nach WD über eine Tabelle.

Eine alternative Umrechnung von D nach WD bietet die Näherungsformel

(2’)     Formel2s

und liefert kaum merkliche Unterschiede zu den Werten, die nach (2) berechnet werden.

Der maximale Fehler von (2’) gegenüber (2) beträgt 0,015 Einheiten und hat kaum messbare Auswirkungen.

Mit der Näherungsformel

(2’’)     Formel2ss

ergeben sich ebenfalls große Übereinstimmungen mit den Ergebnissen zu (2).

Diese Darstellung erlaubt nun durch die Wahl von σ=25 eine einfache Interpretation:

 die BAX Differenz zweier Spieler auf 50 angerechnet ergibt unmittelbar die Gewinnerwartung.

 

Beispiel

BA=500 und BB=520 führt zu  D = 500 – 520 = -20  und damit zu  -20+50=30.

Dies bedeutet, dass Spieler A gegenüber Spieler B eine Gewinnerwartung von 30% (=0,3) hat und umgekehrt Spieler B gegenüber Spieler A eine Gewinnerwartung von 70% hat.

Nach (2’) ergeben sich 29% und 71%, was die Verwendung von (2’’) zumindest für eine erste Einschätzung brauchbar macht.

 

In nachfolgender Tabelle sind die Gewinnerwartungen zu allen drei Varianten für D = BSpieler - BGegner aufgeführt.

Differenz Gewinnerwartung gemäß   Differenz Gewinnerwartung gemäß
BSp-BGeg(2)(2')(2'') BSp-BGeg(2)(2')(2'')
   0 0,500 0,500 0,500     51 0,925 0,913 1,000
   1 0,511 0,512 0,510     52 0,929 0,916 1,000
   2 0,523 0,523 0,520     53 0,933 0,920 1,000
   3 0,534 0,534 0,530     54 0,937 0,923 1,000
   4 0,545 0,546 0,540     55 0,940 0,926 1,000
   5 0,556 0,557 0,550     56 0,943 0,929 1,000
   6 0,567 0,569 0,560     57 0,947 0,932 1,000
   7 0,578 0,580 0,570     58 0,950 0,935 1,000
   8 0,590 0,591 0,580     59 0,952 0,938 1,000
   9 0,600 0,602 0,590     60 0,955 0,941 1,000
 10 0,611 0,613 0,600     61 0,958 0,943 1,000
 11 0,622 0,624 0,610     62 0,960 0,946 1,000
 12 0,633 0,635 0,620     63 0,963 0,948 1,000
 13 0,643 0,645 0,630     64 0,965 0,950 1,000
 14 0,654 0,656 0,640     65 0,967 0,952 1,000
 15 0,664 0,666 0,650     66 0,969 0,954 1,000
 16 0,675 0,676 0,660     67 0,971 0,956 1,000
 17 0,685 0,686 0,670     68 0,973 0,958 1,000
 18 0,695 0,696 0,680     69 0,975 0,960 1,000
 19 0,705 0,706 0,690     70 0,976 0,962 1,000
 20 0,714 0,715 0,700     71 0,978 0,963 1,000
 21 0,724 0,725 0,710     72 0,979 0,965 1,000
 22 0,733 0,734 0,720     73 0,981 0,966 1,000
 23 0,742 0,743 0,730     74 0,982 0,968 1,000
 24 0,751 0,751 0,740     75 0,983 0,969 1,000
 25 0,760 0,760 0,750     76 0,984 0,971 1,000
 26 0,769 0,768 0,760     77 0,985 0,972 1,000
 27 0,777 0,776 0,770     78 0,986 0,973 1,000
 28 0,786 0,784 0,780     79 0,987 0,974 1,000
 29 0,794 0,792 0,790     80 0,988 0,975 1,000
 30 0,802 0,799 0,800          
 31 0,810 0,807 0,810     85 0,992 0,980 1,000
 32 0,817 0,814 0,820     90 0,995 0,984 1,000
 33 0,825 0,820 0,830     95 0,996 0,988 1,000
 34 0,832 0,827 0,840    100 0,998 0,990 1,000
 35 0,839 0,834 0,850    105 0,999 0,992 1,000
 36 0,846 0,840 0,860    110 0,999 0,994 1,000
 37 0,852 0,846 0,870    115 0,999 0,995 1,000
 38 0,859 0,852 0,880    120 1,000 0,996 1,000
 39 0,865 0,858 0,890    125 1,000 0,997 1,000
 40 0,871 0,863 0,900    130 1,000 0,997 1,000
 41 0,877 0,869 0,910    135 1,000 0,998 1,000
 42 0,883 0,874 0,920    140 1,000 0,998 1,000
 43 0,888 0,879 0,930    145 1,000 0,999 1,000
 44 0,893 0,884 0,940    150 1,000 0,999 1,000
 45 0,898 0,888 0,950          
 46 0,903 0,893 0,960    160 1,000 0,999 1,000
 47 0,908 0,897 0,970    170 1,000 1,000 1,000
 48 0,913 0,90 0,980    180 1,000 1,000 1,000
 49 0,917 0,905 0,990    190 1,000 1,000 1,000
 50 0,921 0,909 1,000    200 1,000 1,000 1,000

 

Da Prozentwerte größer 100 keinen Sinn ergeben, ist die Anwendungsbreite von (2’’) begrenzt. Dies wurde in der Tabelle bereits eingearbeitet: Differenzen größer als 50 haben den konstanten Wert 1,000 = 100% erhalten.

Bei negativen Differenzen erhält man die Gewinnerwartung über die Tabelle mit  1 – Tabellenwert.

 

Beispiel

D = -32 führt zur Gewinnerwartung WD=1 - 0,814 = 0,186 = 18,6%

 

Korrektur

Die Summe der Gewinnerwartungen kann als Anzahl der zu erwartenden Siege (SollSiege)  SSoll  angesehen werden. Die tatsächlich erzielten Siege (IstSiege) SIst  stehen dem gegenüber. Ein Vergleich von Ist-Siegen und Soll-Siegen wird als Maß für eine BAX-Korrektur  K  herangezogen.

(3)      K = 7·(SIst - SSoll) 

Der Faktor 7 wurde so bestimmt, dass ein Spieler, der 50% der Gewinnpunkte erzielt hat, nach ca. 12 Spielen einen BAX erhalten wird, der etwa dem Niveau seiner Gegner entspricht.

Mit Hilfe der Korrektur K kann jetzt aus dem alten BAX-Wert Balt ein neuer BAX-Wert Bneu über  Bneu=Balt+K  berechnet werden

(4)     Bneu = Balt + 7·(Sist - Ssoll) .

Für SIst zählt ein Sieg mit 1 bzw. 0,8 bei einem Dreisatzspiel und eine Niederlage mit 0 bzw. 0,2 bei einem Dreisatzspiel.

Der Schachverband verwendet statt 7 den Faktor 15 im Normalfall (bezogen auf σ=200) und setzt Sieg = 1, Remis = 0,5 sowie Niederlage = 0.