Herleitung der  BAX Formeln

 

Gewinnwahrscheinlichkeit / Gewinnerwartung

 

Mit Hilfe der Standardnormalverteilung

(1)  

lassen sich in sehr guter Näherung Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung bestimmen. Eine Binomialverteilung liegt dann vor, wenn numerisch messbare Merkmale wie z.B. Schuhgröße, Intelligenzquotient, Benotung oder BAX gleichmäßig in Anlehnung einer Glockenkurve verteilt vorliegen.

Excel-Anwender kennen die Funktion Standardnormalverteilung als STANDNORMVERT().

Setzt man in die Formel  (1)  x= D/√2·σ  mit D als Differenz zweier BAX-Werte (D=BA-BB) und σ als frei zu wählende Standardabweichung σ=25 ein, so kann

(2)     Formel2 

als Gewinnwahrscheinlichkeit oder Gewinnerwartung von SpielerA gegenüber SpielerB gedeutet werden.

Der Schachverband setzt σ=200 und verwendet damit eine 8fache Skalierung für seine ELO-Zahlen, benannt nach dem Urheber Professor Arpad Elo.

Da die wenigsten Programmiersprachen eine Funktion zur Standardabweichung verfügbar haben, reglementiert der Schachverband die Umrechnung von D nach WD über eine Tabelle.

Eine alternative Umrechnung von D nach WD bietet die Näherungsformel

(2’)     Formel2s

und liefert kaum merkliche Unterschiede zu den Werten, die nach (2) berechnet werden.

Der maximale Fehler von (2’) gegenüber (2) beträgt 0,015 Einheiten und hat kaum messbare Auswirkungen.

Mit der Näherungsformel

(2’’)     Formel2ss

ergeben sich ebenfalls große Übereinstimmungen mit den Ergebnissen zu (2).

Diese Darstellung erlaubt nun durch die Wahl von σ=25 eine einfache Interpretation:

 die BAX Differenz zweier Spieler auf 50 angerechnet ergibt unmittelbar die Gewinnerwartung.

Beispiel

BA=500 und BB=520 führt zu  D = 500 – 520 = -20  und damit zu  -20+50=30.

Dies bedeutet, dass Spieler A gegenüber Spieler B eine Gewinnerwartung von 30% (=0,3) hat und umgekehrt Spieler B gegenüber Spieler A eine Gewinnerwartung von 70% hat.

Nach (2’) ergeben sich 29% und 71%, was die Verwendung von (2’’) zumindest für eine erste Einschätzung brauchbar macht.

 

In nachfolgender Tabelle sind die Gewinnerwartungen zu allen drei Varianten für D = BSpieler - BGegner aufgeführt.

Differenz

Gewinnerwartung gemäß

 

Differenz

Gewinnerwartung gemäß

BSp-BGeg

(2)

(2')

(2'')

 

BSp-BGeg

(2)

(2')

(2'')

   0

0,500

0,500

0,500

 

  51

0,925

0,913

1,000

   1

0,511

0,512

0,510

 

  52

0,929

0,916

1,000

   2

0,523

0,523

0,520

 

  53

0,933

0,920

1,000

   3

0,534

0,534

0,530

 

  54

0,937

0,923

1,000

   4

0,545

0,546

0,540

 

  55

0,940

0,926

1,000

   5

0,556

0,557

0,550

 

  56

0,943

0,929

1,000

   6

0,567

0,569

0,560

 

  57

0,947

0,932

1,000

   7

0,578

0,580

0,570

 

  58

0,950

0,935

1,000

   8

0,590

0,591

0,580

 

  59

0,952

0,938

1,000

   9

0,600

0,602

0,590

 

  60

0,955

0,941

1,000

 10

0,611

0,613

0,600

 

  61

0,958

0,943

1,000

 11

0,622

0,624

0,610

 

  62

0,960

0,946

1,000

 12

0,633

0,635

0,620

 

  63

0,963

0,948

1,000

 13

0,643

0,645

0,630

 

  64

0,965

0,950

1,000

 14

0,654

0,656

0,640

 

  65

0,967

0,952

1,000

 15

0,664

0,666

0,650

 

  66

0,969

0,954

1,000

 16

0,675

0,676

0,660

 

  67

0,971

0,956

1,000

 17

0,685

0,686

0,670

 

  68

0,973

0,958

1,000

 18

0,695

0,696

0,680

 

  69

0,975

0,960

1,000

 19

0,705

0,706

0,690

 

  70

0,976

0,962

1,000

 20

0,714

0,715

0,700

 

  71

0,978

0,963

1,000

 21

0,724

0,725

0,710

 

  72

0,979

0,965

1,000

 22

0,733

0,734

0,720

 

  73

0,981

0,966

1,000

 23

0,742

0,743

0,730

 

  74

0,982

0,968

1,000

 24

0,751

0,751

0,740

 

  75

0,983

0,969

1,000

 25

0,760

0,760

0,750

 

  76

0,984

0,971

1,000

 26

0,769

0,768

0,760

 

  77

0,985

0,972

1,000

 27

0,777

0,776

0,770

 

  78

0,986

0,973

1,000

 28

0,786

0,784

0,780

 

  79

0,987

0,974

1,000

 29

0,794

0,792

0,790

 

  80

0,988

0,975

1,000

 30

0,802

0,799

0,800

 

 

     

 31

0,810

0,807

0,810

 

  85

0,992

0,980

1,000

 32

0,817

0,814

0,820

 

  90

0,995

0,984

1,000

 33

0,825

0,820

0,830

 

  95

0,996

0,988

1,000

 34

0,832

0,827

0,840

 

 100

0,998

0,990

1,000

 35

0,839

0,834

0,850

 

 105

0,999

0,992

1,000

 36

0,846

0,840

0,860

 

 110

0,999

0,994

1,000

 37

0,852

0,846

0,870

 

 115

0,999

0,995

1,000

 38

0,859

0,852

0,880

 

 120

1,000

0,996

1,000

 39

0,865

0,858

0,890

 

 125

1,000

0,997

1,000

 40

0,871

0,863

0,900

 

 130

1,000

0,997

1,000

 41

0,877

0,869

0,910

 

 135

1,000

0,998

1,000

 42

0,883

0,874

0,920

 

 140

1,000

0,998

1,000

 43

0,888

0,879

0,930

 

 145

1,000

0,999

1,000

 44

0,893

0,884

0,940

 

 150

1,000

0,999

1,000

 45

0,898

0,888

0,950

 

 

     

 46

0,903

0,893

0,960

 

 160

1,000

0,999

1,000

 47

0,908

0,897

0,970

 

 170

1,000

1,000

1,000

 48

0,913

0,901

0,980

 

 180

1,000

1,000

1,000

 49

0,917

0,905

0,990

 

 190

1,000

1,000

1,000

 50

0,921

0,909

1,000

 

 200

1,000

1,000

1,000

 

Da Prozentwerte größer 100 keinen Sinn ergeben, ist die Anwendungsbreite von (2’’) begrenzt. Dies wurde in der Tabelle bereits eingearbeitet: Differenzen größer als 50 haben den konstanten Wert 1,000 = 100% erhalten.

Bei negativen Differenzen erhält man die Gewinnerwartung über die Tabelle mit  1 – Tabellenwert.

Beispiel

D = -32 führt zur Gewinnerwartung WD=1 - 0,814 = 0,186 = 18,6%

 

Korrektur

Die Summe der Gewinnerwartungen kann als Anzahl der zu erwartenden Siege (SollSiege)  SSoll  angesehen werden. Die tatsächlich erzielten Siege (IstSiege) SIst  stehen dem gegenüber. Ein Vergleich von Ist-Siegen und Soll-Siegen wird als Maß für eine BAX-Korrektur  herangezogen.

(3)      K = 7·(SIst - SSoll

Der Faktor 7 wurde so bestimmt, dass ein Spieler, der 50% der Gewinnpunkte erzielt hat, nach ca. 12 Spielen einen BAX erhalten wird, der etwa dem Niveau seiner Gegner entspricht.

Mit Hilfe der Korrektur K kann jetzt aus dem alten BAX-Wert Balt ein neuer BAX-Wert Bneu über  Bneu=Balt+K  berechnet werden

(4)     Bneu = Balt + 7·(Sist - Ssoll) .

Für SIst zählt ein Sieg mit 1 bzw. 0,8 bei einem Dreisatzspiel und eine Niederlage mit 0 bzw. 0,2 bei einem Dreisatzspiel.

Der Schachverband verwendet statt 7 den Faktor 15 im Normalfall (bezogen auf σ=200) und setzt Sieg = 1, Remis = 0,5 sowie Niederlage = 0.

 

   
© Klaus-Michael Becker, 2011-2020