Herleitung der BAX Formeln
Gewinnwahrscheinlichkeit / Gewinnerwartung
Mit Hilfe der Standardnormalverteilung
(1) 
lassen sich in sehr guter Näherung Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung bestimmen. Eine Binomialverteilung liegt dann vor, wenn numerisch messbare Merkmale wie z.B. Schuhgröße, Intelligenzquotient, Benotung oder BAX gleichmäßig in Anlehnung einer Glockenkurve verteilt vorliegen.
Excel-Anwender kennen die Funktion Standardnormalverteilung als STANDNORMVERT().
Setzt man in die Formel (1) x= D/√2·σ mit D als Differenz zweier BAX-Werte (D=BA-BB) und σ als frei zu wählende Standardabweichung σ=25 ein, so kann
(2) 
als Gewinnwahrscheinlichkeit oder Gewinnerwartung von SpielerA gegenüber SpielerB gedeutet werden.
Der Schachverband setzt σ=200 und verwendet damit eine 8fache Skalierung für seine ELO-Zahlen, benannt nach dem Urheber Professor Arpad Elo.
Da die wenigsten Programmiersprachen eine Funktion zur Standardabweichung verfügbar haben, reglementiert der Schachverband die Umrechnung von D nach WD über eine Tabelle.
Eine alternative Umrechnung von D nach WD bietet die Näherungsformel
(2’) 
und liefert kaum merkliche Unterschiede zu den Werten, die nach (2) berechnet werden.
Der maximale Fehler von (2’) gegenüber (2) beträgt 0,015 Einheiten und hat kaum messbare Auswirkungen.
Mit der Näherungsformel
(2’’) 
ergeben sich ebenfalls große Übereinstimmungen mit den Ergebnissen zu (2).
Diese Darstellung erlaubt nun durch die Wahl von σ=25 eine einfache Interpretation:
die BAX Differenz zweier Spieler auf 50 angerechnet ergibt unmittelbar die Gewinnerwartung.
Beispiel
BA=500 und BB=520 führt zu D = 500 – 520 = -20 und damit zu -20+50=30.
Dies bedeutet, dass Spieler A gegenüber Spieler B eine Gewinnerwartung von 30% (=0,3) hat und umgekehrt Spieler B gegenüber Spieler A eine Gewinnerwartung von 70% hat.
Nach (2’) ergeben sich 29% und 71%, was die Verwendung von (2’’) zumindest für eine erste Einschätzung brauchbar macht.
In nachfolgender Tabelle sind die Gewinnerwartungen zu allen drei Varianten für D = BSpieler - BGegner aufgeführt.
|
Differenz |
Gewinnerwartung gemäß |
|
Differenz |
Gewinnerwartung gemäß |
||||
|
BSp-BGeg |
(2) |
(2') |
(2'') |
|
BSp-BGeg |
(2) |
(2') |
(2'') |
|
0 |
0,500 |
0,500 |
0,500 |
51 |
0,925 |
0,913 |
1,000 |
|
|
1 |
0,511 |
0,512 |
0,510 |
52 |
0,929 |
0,916 |
1,000 |
|
|
2 |
0,523 |
0,523 |
0,520 |
53 |
0,933 |
0,920 |
1,000 |
|
|
3 |
0,534 |
0,534 |
0,530 |
54 |
0,937 |
0,923 |
1,000 |
|
|
4 |
0,545 |
0,546 |
0,540 |
55 |
0,940 |
0,926 |
1,000 |
|
|
5 |
0,556 |
0,557 |
0,550 |
56 |
0,943 |
0,929 |
1,000 |
|
|
6 |
0,567 |
0,569 |
0,560 |
57 |
0,947 |
0,932 |
1,000 |
|
|
7 |
0,578 |
0,580 |
0,570 |
58 |
0,950 |
0,935 |
1,000 |
|
|
8 |
0,590 |
0,591 |
0,580 |
59 |
0,952 |
0,938 |
1,000 |
|
|
9 |
0,600 |
0,602 |
0,590 |
60 |
0,955 |
0,941 |
1,000 |
|
|
10 |
0,611 |
0,613 |
0,600 |
61 |
0,958 |
0,943 |
1,000 |
|
|
11 |
0,622 |
0,624 |
0,610 |
62 |
0,960 |
0,946 |
1,000 |
|
|
12 |
0,633 |
0,635 |
0,620 |
63 |
0,963 |
0,948 |
1,000 |
|
|
13 |
0,643 |
0,645 |
0,630 |
64 |
0,965 |
0,950 |
1,000 |
|
|
14 |
0,654 |
0,656 |
0,640 |
65 |
0,967 |
0,952 |
1,000 |
|
|
15 |
0,664 |
0,666 |
0,650 |
66 |
0,969 |
0,954 |
1,000 |
|
|
16 |
0,675 |
0,676 |
0,660 |
67 |
0,971 |
0,956 |
1,000 |
|
|
17 |
0,685 |
0,686 |
0,670 |
68 |
0,973 |
0,958 |
1,000 |
|
|
18 |
0,695 |
0,696 |
0,680 |
69 |
0,975 |
0,960 |
1,000 |
|
|
19 |
0,705 |
0,706 |
0,690 |
70 |
0,976 |
0,962 |
1,000 |
|
|
20 |
0,714 |
0,715 |
0,700 |
71 |
0,978 |
0,963 |
1,000 |
|
|
21 |
0,724 |
0,725 |
0,710 |
72 |
0,979 |
0,965 |
1,000 |
|
|
22 |
0,733 |
0,734 |
0,720 |
73 |
0,981 |
0,966 |
1,000 |
|
|
23 |
0,742 |
0,743 |
0,730 |
74 |
0,982 |
0,968 |
1,000 |
|
|
24 |
0,751 |
0,751 |
0,740 |
75 |
0,983 |
0,969 |
1,000 |
|
|
25 |
0,760 |
0,760 |
0,750 |
76 |
0,984 |
0,971 |
1,000 |
|
|
26 |
0,769 |
0,768 |
0,760 |
77 |
0,985 |
0,972 |
1,000 |
|
|
27 |
0,777 |
0,776 |
0,770 |
78 |
0,986 |
0,973 |
1,000 |
|
|
28 |
0,786 |
0,784 |
0,780 |
79 |
0,987 |
0,974 |
1,000 |
|
|
29 |
0,794 |
0,792 |
0,790 |
80 |
0,988 |
0,975 |
1,000 |
|
|
30 |
0,802 |
0,799 |
0,800 |
|
||||
|
31 |
0,810 |
0,807 |
0,810 |
85 |
0,992 |
0,980 |
1,000 |
|
|
32 |
0,817 |
0,814 |
0,820 |
90 |
0,995 |
0,984 |
1,000 |
|
|
33 |
0,825 |
0,820 |
0,830 |
95 |
0,996 |
0,988 |
1,000 |
|
|
34 |
0,832 |
0,827 |
0,840 |
100 |
0,998 |
0,990 |
1,000 |
|
|
35 |
0,839 |
0,834 |
0,850 |
105 |
0,999 |
0,992 |
1,000 |
|
|
36 |
0,846 |
0,840 |
0,860 |
110 |
0,999 |
0,994 |
1,000 |
|
|
37 |
0,852 |
0,846 |
0,870 |
115 |
0,999 |
0,995 |
1,000 |
|
|
38 |
0,859 |
0,852 |
0,880 |
120 |
1,000 |
0,996 |
1,000 |
|
|
39 |
0,865 |
0,858 |
0,890 |
125 |
1,000 |
0,997 |
1,000 |
|
|
40 |
0,871 |
0,863 |
0,900 |
130 |
1,000 |
0,997 |
1,000 |
|
|
41 |
0,877 |
0,869 |
0,910 |
135 |
1,000 |
0,998 |
1,000 |
|
|
42 |
0,883 |
0,874 |
0,920 |
140 |
1,000 |
0,998 |
1,000 |
|
|
43 |
0,888 |
0,879 |
0,930 |
145 |
1,000 |
0,999 |
1,000 |
|
|
44 |
0,893 |
0,884 |
0,940 |
150 |
1,000 |
0,999 |
1,000 |
|
|
45 |
0,898 |
0,888 |
0,950 |
|
||||
|
46 |
0,903 |
0,893 |
0,960 |
160 |
1,000 |
0,999 |
1,000 |
|
|
47 |
0,908 |
0,897 |
0,970 |
170 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
|
|
48 |
0,913 |
0,901 |
0,980 |
180 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
|
|
49 |
0,917 |
0,905 |
0,990 |
190 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
|
|
50 |
0,921 |
0,909 |
1,000 |
200 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
|
Da Prozentwerte größer 100 keinen Sinn ergeben, ist die Anwendungsbreite von (2’’) begrenzt. Dies wurde in der Tabelle bereits eingearbeitet: Differenzen größer als 50 haben den konstanten Wert 1,000 = 100% erhalten.
Bei negativen Differenzen erhält man die Gewinnerwartung über die Tabelle mit 1 – Tabellenwert.
Beispiel
D = -32 führt zur Gewinnerwartung WD=1 - 0,814 = 0,186 = 18,6%
Korrektur
Die Summe der Gewinnerwartungen kann als Anzahl der zu erwartenden Siege (SollSiege) SSoll angesehen werden. Die tatsächlich erzielten Siege (IstSiege) SIst stehen dem gegenüber. Ein Vergleich von Ist-Siegen und Soll-Siegen wird als Maß für eine BAX-Korrektur K herangezogen.
(3) K = 7·(SIst - SSoll)
Der Faktor 7 wurde so bestimmt, dass ein Spieler, der 50% der Gewinnpunkte erzielt hat, nach ca. 12 Spielen einen BAX erhalten wird, der etwa dem Niveau seiner Gegner entspricht.
Mit Hilfe der Korrektur K kann jetzt aus dem alten BAX-Wert Balt ein neuer BAX-Wert Bneu über Bneu=Balt+K berechnet werden
(4) Bneu = Balt + 7·(Sist - Ssoll) .
Für SIst zählt ein Sieg mit 1 bzw. 0,8 bei einem Dreisatzspiel und eine Niederlage mit 0 bzw. 0,2 bei einem Dreisatzspiel.
Der Schachverband verwendet statt 7 den Faktor 15 im Normalfall (bezogen auf σ=200) und setzt Sieg = 1, Remis = 0,5 sowie Niederlage = 0.